§ 3. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

 

Контрольная работа № 1

Вариант 1

1. Сумма двух внутренних углов из восьми углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, равна 80°. Найдите каждый из восьми углов.

2. Угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей его основанию, равен 30°. Найдите угол между высотой, опущенной на боковую сторону треугольника, и его основанием.

3. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите углы данного треугольника и определите его вид.

4. В данном десятиугольнике все внутренние углы равны между собой. Найдите его внешний угол.

5*. По рисунку 31 определите угол X.

Вариант 2

1. Сумма трех внутренних углов из восьми углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, равна 290°. Найдите каждый из восьми углов.

2. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 65°. Найдите угол, образованный его боковой стороной и высотой, опущенной на другую боковую сторону.

3. Углы треугольника относятся как 3:2:1. Найдите углы данного треугольника и определите его вид.

4. Найдите число сторон выпуклого многоугольника, если сумма его внутренних углов равна 2520°.

5*. По рисунку 32 определите угол X.

 

Контрольная работа № 2

Вариант 1

1. Периметр ромба равен 16 см, высота равна 2 см. Определите углы ромба.

         2. В параллелограмме ABCD из вершин тупых углов B и D на диагональ AC опущены перпендикуляры BE и DF. Докажите, что четырехугольник BEDF – параллелограмм.

3. Стороны треугольника равны 2 см, 3 см и 4 см. Его вершины являются серединами сторон другого треугольника. Найдите периметр большого треугольника.

         4. В равнобедренной трапеции верхнее основание равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Определите углы данной трапеции.

 

         5*. Постройте ромб, если даны его сторона a и сумма диагоналей d₁+d₂.

Вариант 2

         1. Высота ромба, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам. Определите углы ромба.

         2. В параллелограмме ABCD из вершин тупых углов B и D проведены биссектрисы BE и DF. Точки E и F принадлежат диагонали AC. Докажите, что четырехугольник BFDE – параллелограмм.

         3. Периметр треугольника равен 27 см, стороны относятся как 3:2:4. Найдите стороны треугольника, образованного средними линиями данного треугольника.

         4. Определите углы равнобедренной трапеции, если одно из ее оснований в два раза больше другого, а боковые стороны равны меньшему основанию.

5*. Постройте ромб, если даны его сторона a и разность диагоналей d₁-d₂.

 

Контрольная работа № 3

Вариант 1

1. Острый угол прямоугольного треугольника равен 30°. Под каким углом виден каждый катет из центра окружности, описанной около данного треугольника?

2. Углы треугольника относятся как 3:7:8. Под какими углами видны его стороны из центра вписанной окружности?

3. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 80° и 60°. Найдите остальные углы четырехугольника.

4. Три последовательные стороны описанного около окружности четырехугольника относятся как 1:3:5. Периметр четырехугольника равен 36 см. Найдите его стороны.

5*. Постройте треугольник ABC по его высоте AH=h, биссектрисе AL=l и углу B.

Вариант 2

1. Угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, равен 120°. Под каким углом видна каждая сторона треугольника из центра описанной около него окружности?

2. Два угла треугольника равны 36° и 48°. Под какими углами видны его стороны из центра вписанной окружности?

3. Три последовательные угла вписанного в окружность четырехугольника относятся как 3:4:6. Найдите углы четырехугольника.

4. В четырехугольник ABCD вписана окружность. Сторона AB на 4 см больше стороны CD, а стороны BC и AD относятся соответственно как 1:2. Найдите стороны данного четырехугольника, если его периметр равен 48 см.

5*. Постройте треугольник ABC по его стороне BC=a, медиане AM=m и углу HAM, где AH – высота треугольника ABC .

 

Контрольная работа № 4

Вариант 1

1. Постройте фигуру, центрально симметричную равностороннему треугольнику относительно одной из его вершин. Какая получилась фигура?

         2. В данной плоскости вокруг своего центра вращается квадрат. Сколько раз происходит самосовмещение квадрата при повороте на 360°? На какой угол происходит поворот при каждом самосовмещении квадрата? Центром симметрии какого порядка является центр квадрата?

         3. Докажите, что если прямые, на которых лежат диагонали четырехугольника являются его осями симметрии, то четырехугольник является ромбом.

         4. Постройте фигуру, в которую перейдет равносторонний треугольник ABC при параллельном переносе на вектор , где  M – точка пересечения его медиан. Запишите равные векторы.

         5*. Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что их отрезки, заключенные внутри квадрата, равны. При доказательстве используйте движение.

Вариант 2

1. Постройте фигуру, центрально симметричную равностороннему треугольнику относительно середины одной из его сторон. Какая получилась фигура?

2. В данной плоскости вокруг своего центра вращается равносторонний треугольник. Сколько раз происходит самосовмещение треугольника при повороте на 360°? На какой угол происходит поворот при каждом самосовмещении? Центром симметрии какого порядка является центр равностороннего треугольника?

3. Докажите, что если прямые, на которых лежат одна диагональ и одна средняя линия (отрезок, соединяющий средины противоположных сторон) четырехугольника являются его осями симметрии, то четырехугольник является квадратом.

4. Постройте фигуру, в которую перейдет параллелограмм ABCD при параллельном переносе на вектор , где  O – точка пересечения его диагоналей. Запишите равные векторы.

5*. Дан квадрат ABCD. Докажите, что четырехугольник, образовавшийся при пересечении отрезков AE, BF, CG, DH, где точки E, F, G, H – середины сторон квадрата соответственно CD, DA, AB, BC, является квадратом. При доказательстве используйте движение.

 

Контрольная работа № 5

Вариант 1

1. В треугольнике ABC AB=6,8 см, BC=3,2 см, AC=7,6 см. Найдите стороны подобного ему треугольника A₁B₁C₁, если его сторона A₁B₁ соответствует стороне AB первого треугольника и больше ее на 3,4см.

2. Докажите, что в подобных треугольниках отношение двух соответствующих сторон равно отношению двух соответствующих биссектрис.

3. Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной b.

4. В равнобедренной трапеции основания равны 3,6 см и 7,6 см, расстояние между ними равно 4 см. Найдите боковую сторону трапеции.

         5*. В прямоугольный треугольник вписан квадрат таким образом, что две его вершины принадлежат гипотенузе. Эти вершины делят гипотенузу последовательно на отрезки a, b, c. Докажите, что b²=ac.

Вариант 2

         1. Даны два подобных  треугольника ABC и A₁B₁C₁. Стороны первого треугольника равны: AB=5,6 см, BC=4,8 см, AC=6,3 см. Найдите стороны второго треугольника A₁B₁C₁, если отношение  соответствующих сторон равно 1,2 (AB< A₁B₁).

         2. Докажите, что в подобных треугольниках отношение двух соответствующих сторон равно отношению двух соответствующих медиан.

         3. Найдите высоту равнобедренного прямоугольного треугольника, опущенную из вершины прямого угла, если катет равен c.

         4. Основания прямоугольной трапеции равны 2,0 см и 2,5 см, большая боковая сторона равна 1,3 см. Найдите периметр трапеции.

  5*. В прямоугольный треугольник c катетами a и b вписан квадрат таким образом, что у них один общий угол. Сторона квадрата равна c. Докажите, что .

Контрольная работа № 6

Вариант 1

         1. Постройте острый угол a, если: а) sin a=; б) ctg a=2.

         2. Сравните sin 1° и cos 1°.

         3. Стороны MN и MK треугольника MNK соответственно равны 6 см и 10 см, ÐM=60°. Найдите остальные стороны и углы данного треугольника.

         4. По данному радиусу R окружности определите сторону правильного вписанного в нее n-угольника.

         5*. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, угол при вершине, которая противолежит основанию, равен b. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.

Вариант 2

1. Постройте острый угол b, если: а) cos b=; б) tg b=.

         2. Сравните tg 1° и ctg 1°.

         3. Стороны DE и DF треугольника DEF соответственно равны 2 см и 5 см, ÐD=60°. Найдите остальные стороны и углы данного треугольника.

         4. По данному радиусу R окружности определите сторону правильного описанного около нее n-угольника.

5*. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна a, угол при вершине, которая противолежит основанию, равен b. Найдите радиус окружности, описанной около данного треугольника.

        

ОТВЕТЫ

№ 1

Вариант 1. 1. 4 угла по 40° и 4 угла по 140°. 2. 15°. 3. 40°, 60°, 80°. 4. 36°. 5. 180°-(a+b+g).

Вариант 2. 1. 4 угла по 70° и 4 угла по 110°. 2. 40°. 3. 90°, 60°, 30°. 4. 16. 5. b-(a+g).

№ 2

Вариант 1. 1. 30°, 30°, 150°, 150°. 3. 18 см. 4. 60°, 60°, 120°, 120°. 5. Сначала построить прямоугольный треугольник AOB (A, B – вершины ромба, O – точка пересечения его диагоналей) по гипотенузе AB=a и сумме катетов AO+OB=. Для этого откладываем отрезок AK= и ÐK=45° (рис. 73). Проводим окружность (A; a), которая пересечет вторую сторону построенного угла в точке B. Опускаем перпендикуляр BO на AK, AOB – искомый треугольник. Теперь продолжаем AO и BO соответственно на отрезки OC=AO и OD=BO, ABCD -  искомый ромб.

Вариант 2. 1. 60°, 60°, 120°, 120°. 3. 4,5 см, 3 см, 6 см. 4. 60°, 60°, 120°, 120°. 5. Сначала построить прямоугольный треугольник AOB (A, B – вершины ромба, O – точка пересечения его диагоналей) по гипотенузе AB=a и разности катетов AO-BO=. Для этого откладываем отрезок AK= и ÐK=45° (рис. 74). Проводим окружность (A; a), которая пересечет вторую сторону построенного угла в точке B. Опускаем перпендикуляр BO на AK, AOB – искомый треугольник. Теперь продолжаем AO и BO соответственно на отрезки OC=AO и OD=BO, ABCD -  искомый ромб.

№ 3

Вариант 1. 1. 60°, 120°. 2. 105°, 125°, 130°. 3. 100°, 120°. 4. 3 см, 9 см, 15 см, 9 см. 5. Указание. Сначала строим прямоугольный треугольник AHL по гипотенузе AL=l и катету AH=h.

Вариант 2. 1. 60°, 60°, 120°. 2. 108°, 114°, 138°. 3. 60°, 80°, 120°, 100°. 4. 10 см, 14 см, 8 см, 16 см. 5. Указание. Сначала строим прямоугольный треугольник AHM по гипотенузе AM=m и острому углу HAM.

№ 4

Вариант 1. 1. Равносторонний треугольник. 2. 4 раза; 90°; 4-го порядка. 5. Указание. Следует взять движение – поворот вокруг центра квадрата на 90°.

Вариант 2. 1. Равносторонний треугольник. 2. 3 раза; 120°; 3-го порядка. 5. Указание. Следует взять движение – поворот вокруг центра квадрата на 90°.

№ 5

Вариант 1. 1. 10,2 см; 4,8 см; 11,4 см. 3. . 4. 4,8 см.

Вариант 2. 1. 6,72 см; 5,76 см; 7,56 см. 3. . 4. 7 см.

№ 6

Вариант 1. 2. sin 1°<cos 1°. 3.  NK=2 см; sin N=; sin K=. 4. 2Rsin . 5. .

Вариант 2. 2. tg 1°<ctg 1°. 3.  EF= см; sin E=; sin F=. 4. 2Rtg . 5. .